Основне рівняння МКТ (виведення)
 |
| Траекторія руху однієї частинки |
Розглянемо ідеальний газ. (Пригадаємо, що ідеальний газ – це модель реального газу в якому:
1) відсутня взаємодія між молекулами;2) молекули – матеріальні точки певної маси (займають безмежно малий об’єм в порівнянні з об’ємом посудини);3) при зіткненні між собою та зі стінками посудини ведуть себе як пружні кульки;4) молекули рівномірно розподілені по об’єму).
Дана речовина займає об’єм V та складається із великої кількості частинок N.
Газ перебуває у стані теплової рівноваги у якій N1 частинок володіють швидкостями v1; N2 – v2; N3 – v3; …
Обрахуємо тиск газу на елемент поверхні ΔS на основі молекулярно - кінетичної теорії (МКТ) та механіки Ньютона. При цьому враховуватимемо, що удари молекул (атомів, іонів) пружні, молекули масивні (m) та молекули тотожні між собою.
Розглянемо рух однієї частинки – молекули. Внаслідок зіткнення зі стінкою, вона змінює імпульс:
 |
| Зміна імпульсу однієї частинки під час зіткнення з перешкодою. |
Δр = - 2mv1x
Сила, з якою діють молекули 1-го сорту на площадку ΔS:
ΔF1x = 2mv1x ΔN1/ Δt
де – ΔN1 – число зіткнень молекул зі швидкостями v1 з площадкою ΔS за час Δt.
 |
| До розрахунку кількості зіткнень |
Порахуємо число зіткнень ΔN1:
ΔN1 = ½•N1v1x Δt ΔS/V
Коефіцієнт ½ пояснюється хаотичністю руху частинок (лише половина частинок рухаються вліво).
Тому значення сили ΔF1x набуває наступного вигляду:
ΔF1x = 2mv1x ΔN1/ Δt = … = mv21x N1 ΔS / V
Повна сила, яка діє на площадку ΔS зі сторони всіх молекул, що мають різні швидкості:
ΔFx = ΔF1x + ΔF2x + ΔF3x + … = mv21x N1 ΔS / V +
+ mv22x N2 ΔS / V + mv23x N3 ΔS / V + …
+ mv22x N2 ΔS / V + mv23x N3 ΔS / V + …
Шукане значення тиску р дорівнює:
р = ΔFx/ ΔS = (v21x N1 + v22x N2 + v23x N3 + …)m/V =
= N‹v2x›m/V
= N‹v2x›m/V
де ‹vx2› - середнє значення квадрата складової швидкості молекули в напрямку осі Ох.
Оскільки в силу хаотичності руху усі напрямки є рівноправними, тому:
‹v2› = ‹vx2› + ‹vy2› + ‹vz2› = 3‹vx2›.
Підставляючи останнє співвідношення у рівняння для тиску отримуємо основне рівняння МКТ, яке було отримане лише з використанням законів Ньютона та основних положень молекулярно- кінетичної теорії.
pV = ⅓mN‹v2›; р = ⅓nm‹v2› = ⅔n‹Ek›
Інша форма запису основного рівняння МКТ:
pV = ⅔N‹Ek› ; p = ⅓ρ‹v2›
Враховуючи значення середньої квадратичної швидкості із розподілу молекул по швидкостях, встановленим Максвелом у 1859 році отримаємо:
Vс.кв. = (3кТ/m)1/2 ; ‹Ek› = 3kT/2
Підставляючи значення середньої кінетичної енергії поступального руху молекул в основне рівняння МКТ отримаємо ще одну формулу для знаходження тиску ідеального газу:
p = nkT
(У останній формулі: р - тиска газу; к - постійна Больцмана; Т - температура газу).
Доцільно прочитати:
