Швидкість звукової хвилі

Адіабатична звукова хвиля 

***

Припустимо, що внаслідок короткочасної дії  на стержень (наприклад, удар молотка) в ньому виникає хвильовий імпульс, який поширюється по всій довжині стержня. Сила, яка подіяла на стержень, за час dt змістила частинки масою
  

dm = Sv∙dρ∙dt,  

та надала їй імпульс  

v∙dm = Sv²∙dρ∙dt.

Значення сили, яка здійснила ці зміни знайдемо з другого закону Ньютона:

F = v∙dm/dt = Sv²∙dρ

З іншого боку значення цієї ж сили знайдемо через зміну тиску dp:

F = S∙dp

Прирівнявши ліві сторони обох рівнянь та скорочуючи площу поперечного перерізу стержня отримуємо загальну формулу для визначення швидкості поширення звукової хвилі через  невеликі зміни густини та тиску:

 v = (dp/dρ)^1/2

Скористаємось цією формулою, та визначимо швидкість поширення акустичної звукової хвилі у газах.

1. Ізотермічна звукова хвиля 

Вважатимемо, що зміна тиску при поширенні звукової хвилі підлягає закону Бойля-Маріотта – ізотермічна хвиля. Така хвиля реалізується при малих частотах звуку.

pV = const

pV = (m/μ)•RT

p/ρ = const

Продиференціюємо по густині останнє рівняння

 (p/ρ)' ={ ρ∙dp/dρ – p}/ρ² = 0

З останнього співвідношення знайдемо, що

V_ізот = (р/ρ)^1/2 = (RT/μ)^1|2

Отримана формула добре описує значення швидкості звукової хвилі при невеликих частотах, проте із збільшенням частоти звуку теоретичні значення швидкостей розходяться і з експериментально виміряними.

2. Адіабатична звукова хвиля 

Вважатимемо, що звукова хвиля поширюється в газах і при цьому зміна тиску узгоджується формулою Пуассона, а сама хвиля є адіабатичною.

pV^γ = const
pV = (m/μ)•RT

p/ρ^γ = const

Продиференціюємо по густині останнє рівняння

(p/ρ^γ)' ={ ρ^γ∙dp/dρ – pγρ^γ-1}/ρ^2γ = 0

З останнього співвідношення знайдемо, що

V_адіаб = (γр/ρ)^1/2 = (γRT/μ)^1|2

де γ = с_р/с_v  - показник адіабати.

Остання формула більш точно описує швидкість поширення акустичної звукової хвилі в газоподібному середовищі.

Доцільно прочитати:

• 1. Адіабатичний процес
• 2. Перше начало термодинаміки.
• 3. Швидкість механічної хвилі
• 4. Модель ідеального газу.
• 5. Енергія хвиль
• 6. Ізопроцеси.